孤独の数学（孤独の忍者のブログ）

三角関数の合成は加法定理の逆です。 合成は図を書けば、すぐに求められるのですが、加法定理の逆の計算から求められるようにしておくことも必要です。 加法定理は $sin$ の場合、 $sin(\alpha+\beta)=sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta$　① 例えば、$\beta=\frac{\pi}{6}$ とすると、$cos\beta=\frac{\sqrt3}{2}\ \ \ sin\beta=\frac{1}{2}$  これらを①式にあてはめると、 $sin(\alpha+\frac{\pi}{6})=sin\alpha \cdot  \frac{\sqrt{3}}{2} + cos\alpha \cdot \frac{1}{2}$　両辺を2倍して、 $2sin(\alpha+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}sin\alpha + cos\alpha$ 左右交換して、 $\sqrt{3}sin\alpha + cos\alpha=2sin(\alpha+\frac{\pi}{6})$ 公式的には、 $asin\theta+bcos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sin\theta+\frac{b{\sqrt{a^2+b^2}}cos\theta\right)$ $=\sqrt{a^2+b^2}(sin\theta cos\alpha+cos\theta sin\alpha)$　ここで、 $sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$　　$cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 例えば、$3sin\theta+\sqrt{3} cos\theta$ を合成しなさいとなったら まず、$\sqrt{3}$ を括り出し、$\sqrt{3}(\sqrt{3}sin\theta+1 \cdot cos\theta)$ とします。 数字の部分を見慣れた三角関数の値にして補正します。 $2\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}sin\theta+\frac{1}{2}cos\theta)$ $cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$、$sin\alpha=\f

三角関数の最大最小問題は2次関数に帰着するものと、合成して考えるものがあります。 例えば、$y=2cos^2x-sinx+1$  ただし、$0\leqq x < 2\pi$  とする。 このように条件が与えられて最大最小を求める場合、 $sin^2x+cos^2x=1$ から、 $cos^2x=1-sin^2x$ であるから、上の式に代入して $y=2(1-sin^2x)-sinx+1$　整理すると、 $y=-2sin^2x-sinx+3$　平方完成すると、 $y=-2\left(sinx+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{25}{8}$ $sinx = t$ とすると、$y=-2\left(t+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{25}{8}$ $0\leqq x < 2\pi$ の範囲では、$-1\leqq sinx \leqq 1$  となるので、 $-1\leqq t \leqq 1$  となる。図は以下の通り。 最大値は頂点の $y=\frac{25}{8}$ 座標。最小値は $x=1$ の部分で $y=0$

三角比のときは $0$ から $\pi$ まででしたが、三角関数は1周です。 つまり、$0$ から $2\pi$ まで（もちろんマイナスもあり、もっと大きな範囲も考えます） $0\leqq \theta < 2\pi$ という範囲指定が多くなります。 この範囲で、例えば、 $sin\theta \leqq \frac{1}{2}$ の場合、単位円で考えると、$y\leqq \frac{1}{2}$（＊） $0$ から左周りで一周するように考えると、あてはまる角度は $0\leqq \theta <\frac{1}{6}\pi$ と  $\frac{5}{6}\pi < \theta <2\pi$ です。 紫色の部分でした。 （＊）教科書にもあるように、三角比や三角関数を円といっしょに考えるとき、 $sin\theta =\frac{y}{r}$、$cos\theta =\frac{x}{r}$ です。   $r$ は円の半径です。 単位円 $r=1$ のとき、$sin\theta =\frac{y}{r}$、$cos\theta =\frac{x}{r}$ は $sin\theta =y$、$cos\theta =x$ となります。 それで、例えば、 $sin\theta = cos\theta$ を解きなさい。ただし、$0\leqq \theta < 2\pi$  という問題では、実質的に単位円と $sin\theta = cos\theta$  つまり $y=x$ を 考えることになります。 図から交点の角度は左回りで見て、 $\theta=\frac{\pi}{4}$ と $\theta=\frac{5\pi}{4}$ であることがわかります。

$y=sin\theta$ (赤)と $y=cos\theta$ (青)と $y=tan\theta$ (緑) タンジェントは流れるような曲線です。 $sin$ と $cos$ の 範囲は $-1\leqq y \leqq 1$（縦の範囲です） $\theta$ の範囲（横の範囲）は全範囲ですが、 $0\leqq \theta \leqq 2\pi$ で同じ形が繰り返されます。 （周期は $2\pi$ であるといいます） $tan\theta$ は縦の範囲がマイナスの無限大からプラスの無限大という範囲ですが、周期は $-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}$ でグラフが繰り返されます、$0\leqq x \leqq 2\pi$ のように指定されることがあります。 $y=sin\theta$ (黒)と $y=2sin\theta$ (青)振幅（縦幅が2倍） $y=sin\theta$ (赤)と $y=sin2\theta$ (青)と $y=sin2x$（緑） $\theta$ の前に数字がつくと、例えば、$2\theta$ のように $2$ がつくと、 横幅が $\frac{1}{2}$ になります。2倍しているのに、半分になるのです。 そのため、周期は半分の $\pi$ となります。 もし、$\frac{1}{2}\theta$ のように、 $\frac{1}{2}$ がつくと、バネが伸びるような感じで 周期は2倍になり、$4\pi$ となります。

加法定理 高校のとき、（かなり昔ですが）数学の先生が「家宝」定理とおやじギャグ的に表現しておられました。 それだけ大切だと強調されたかったのだと思います。 加法定理は以下の4つの式を覚えたら、他は計算できるようにしておきましょう。 $sin(\alpha +\beta)=sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta$　　①★ $sin(\alpha -\beta)=sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta$　　② $cos(\alpha +\beta)=cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta$　　③★ $cos(\alpha -\beta)=cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$　　④ 4つですが、★マークの2つを覚えれば、プラスマイナスの違いだけです。 例えば、①と③で辺々割り算をして、分母分子を$cos\alpha cos\beta$ で割れば、$tan(\alpha+\beta)$ を求めることができます。 2倍角の公式は、例えば、$sin$ の場合、①の $sin(\alpha +\beta)$ を $sin(\alpha +\alpha)$ つまり $sin2\alpha$ (2倍角)として計算できます。 2倍角の公式は頻繁に登場するので、少なくとも $sin$ と $cos$ については覚えるべきです。 $tan$ は辺々割れば求められます。 3倍角の公式は暗記はやっかいだと思いますので、計算 $sin(\alpha+2\alpha)$ などから求められるように練習しておきましょう。 半角の公式というものもありますが、特に、次の形を覚えておきたいところです。 $sin^2\theta=\frac{1-cos2\theta}{2}$ $cos^2\theta=\frac{1+cos2\theta}{2}$ どちらも右辺が $cos$ です。これらの式は $cos$ の2倍角の公式である $cos2\theta = cos^2\theta - sin^2\theta =1-2sin^2\theta=2cos^2\theta-1$  これらを変形して得られています。 これらの公式は微分積分などでもよく利用され

正弦定理と余弦定理と面積の公式があります。 正弦定理 △$ABC$ で  $\angle A$ の向かいの辺の長さを $a$、 $\angle B$ の向かいの辺の長さを $b$、 $\angle C$ の向かいの辺の長さを $c$ さらに外接円の半径を $R$ とすると、 とすると、正弦定理は $\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$ 余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc cosA$　　変形すると、$cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ $b^2=c^2+a^2-2ca cosB$　　変形すると、$cosB=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$ $c^2=a^2+b^2-2ab cosC$　　変形すると、$cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ 見た目のことですが、$b^2+c^2-2bc$ だけを取り出すと $(b-c)^2$ の展開式になっているので覚える助けになります。 三角形の面積（2辺とその間の角...と覚えておくこともできます） $S=\frac{1}{2}absinC$ $S=\frac{1}{2}bcsinA$ $S=\frac{1}{2}casinB$ （三角形の内接円の半径 $r$ と辺の長さ $a,\ b,\ c$ がわかっているとき） $S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$ ヘロンの公式というものもあります。 $S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$　　ただし、$s=\frac{a+b+c}{2}$ この公式は $a,\ b,\ c$ が整数のときに使いましょう。

(1)　$sin^2\theta + cos^2\theta =1$　　これは最も多用される式です。 (2)　$tan\theta = \frac{sin\theta}{cos\theta}$　　バス停の法則にあやかり「志子田くん」で。 さらに、(1)の両辺を $cos^2\theta$ で割ると $\frac{sin^2\theta}{cos^2\theta}+\frac{cos^2\theta}{cos^2\theta}=\frac{1}{cos^2\theta}$ したがって、 (3)　$tan^2\theta+1=\frac{1}{cos^2\theta}$ (1), (2), (3)はどれも大切な公式ですので、覚えておきたいところです。 特に最後の $cos^2\theta$ で割ることなどは他の公式でも応用できる部分です。 代表的な問題は、例えば、 $sin\theta=\frac{1}{2}$ のとき、$cos\theta$ と $tan\theta$ の値を求めなさい。 ただし、$0^{\circ}\leqq \theta \leqq 180^{\circ}$ $sin^2\theta + cos^2\theta =1$ の出番です。 $sin\theta=\frac{1}{2}$ を代入すると、$\frac{1}{4} + cos^2\theta =1$ より $cos^2\theta =1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ したがって、$cos\theta =\pm \frac{\sqrt3}{2}$　　$tan\theta=\pm \frac{1}{\sqrt3}$ いったん、上のように図を書けば、$cos$ も $tan$ も図からすぐにわかります。 しかし、図を書かなくても簡単に求めることができるのです。 まず、$sin$ は $y$ の値、$cos$ は $x$ の値なので、 $sin$ は第一象限と第二象限でプラスになること、 $cos$ は第一象限でプラス、第二象限でマイナスになることを覚えておきましょう。 そうすれば、$sin\theta =\frac{1}{2}$ に対して、$cos$ は $sin$ と分母が同じで、 $sin$ の分母の二乗から分子の2乗を引いた数のルートが $cos$ の値になると 覚えておけ

ナターシャセブンの歌で「受験生のブルース」というのがありました。 その中の歌詞で「 サイン　コサイン　何になる 　俺らにゃ俺らの夢がある」 $sin\theta=\frac{y}{r}$ ですが、単位円で考えたとき、$r=1$ なので $sin\theta=y$ ということになります。それで「サイン」は「$y$」になる。 というわけです。 $2sin\theta-1=0$ （これが三角方程式）は $2y-1=0$ で $y=\frac{1}{2}$ です。 単位円と $y=\frac{1}{2}$ の交点に向けて原点から直線を引くとその角度が答えになります。 $\theta=30^{\circ}$

ユークリッドの互除法で1組の解を見つける 例えば、適当に問題を作ると、$42x+143y=1$ $143=42\cdot 3+17$ $42=17\cdot 2+8$ $17=8\cdot 2+1$　であるから、 $17=143-42\cdot 3$ $8=42-17\cdot 2$ $1=17-8\cdot 2$ 下から順に上の式を代入して $1=17-8\cdot 2$ $=17-(42-17\cdot 2)\cdot 2$ $=-42\cdot 2+17\cdot 5$ $=-42\cdot 2+(143-42\cdot 3)\cdot 5$ $=-42\cdot 17+143\cdot 5$ $=42\cdot (-17)+143\cdot 5$ したがって、$x=-17$、$y=5$ となりました。 （これは他の数字になることもあります） この方法はなかなか慣れません。私はいつも次の方法で求めています。 $ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ 42$ $ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ 143$　           上の式を3倍して $ 3\ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ 126$　           上の式から引いて $ -3\ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ 17$　              2倍して $ -6\ \ \ \ \ \ \ 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ 34$　              一番上の式から引いて $ 7\ \ \ \ \ \ \ \ \ -2\ \ \ \ \ 8$　                2倍して $ 14\ \ \ \ \ \ \ -4\ \ \ \ \ 16$　             4番目の式から引いて $-17\ \ \ \ \ 5\ \ \ \ \ \ \ \  1$ これで、$x=-17$、$y=5$ となりました。 問題の式の右辺と右端の数が一致すればOKです。 合同式や割り算を利用する方法などもありますので、一番使いやすい方法を見極めましょう。

2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とすると \begin{cases}\alpha +\beta =-\dfrac{b}{a}\\ \alpha \beta =\dfrac{c}{a}\end{cases} 3次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の3つの解を $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ とすると \begin{cases}\alpha +\beta +\gamma =-\dfrac{b}{a}\\ \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =\dfrac{c}{a}\\ \alpha \beta \gamma =-\dfrac{d}{a}\end{cases} 右辺がどちらもマイナスから始まっていることを覚えておくと、忘れにくいと思います。 マイナス、プラス、（マイナス）の順です。 ポピュラーな問題として 「2次方程式 $2x^2+5x-3=0$ の解を $\alpha$、$\beta$ とする。このとき、 $\alpha^2 +\beta^2$ の値を求めなさい」 解と係数の関係から、$\alpha +\beta =-\frac{5}{2}$、$\alpha \beta=-\frac{3}{2}$ $\alpha ^{2}+\beta ^{2}=\left( \alpha +\beta \right) ^{2}-2\alpha \beta$ ここに代入して、 $=\left( -\dfrac{5}{2}\right) ^{2}-2\times \left( -\dfrac{5}{2}\right) \times \left( -\dfrac{3}{2}\right) =-\dfrac{5}{4}$

2次不等式を考えるときは、2次関数のグラフを思い浮かべましょう。 2次関数のグラフを思い浮かべるのに助けとなるのは判別式です。 $y=ax^2+bx+c$  または  $ax^2+bx+c=0$ に対して、判別式は $D=b^2-4ac$ です。 $x$ の係数が偶数のときは、$D=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac$ も使えます。 判別式を使うと、グラフ（放物線）が $x$軸とくっついているか、離れているかがわかります。 2次不等式を考えるときは右辺を $0$ にすることがほとんどですが、 この $0$ は $x$軸のことです。これを忘れないようにしましょう。 (1) $x^2-3x+4>0$ これを解くことは、放物線が $x$軸の上にある $x$ の範囲を求めるということです。 判別式は $D=9-16<0$ なので、 $x$軸と離れています。 下に凸（$x^2$の係数がプラス）の放物線が $x$軸と離れていることを頭に思い描きましょう。 放物線が $x$軸の上にある $x$ の範囲は全範囲なので、答えは「すべての実数」です。 (2) $x^2-4x+4<0$ 判別式は $0$ なので、$x$軸と接しています。下に凸です。 この式は放物線が $x$軸の下側にある $x$ の範囲を聞いているのですが、 放物線は全範囲で  $x$軸の下側にはありませんので、答えは「解なし」です。 (3) $-2x^2+5x-2>0$ $x^2$ の係数がマイナスのときは全体に $-1$ を掛けて、プラスにしておきましょう。 そうすると、$2x^2-5x+2<0$ となります。 $D>0$ なので、 $x$軸と2点で交わっています。下に凸の放物線です。 放物線が  $x$軸の下側に一部あります。 因数分解すると、$(x-2)(2x-1)<0$ となります。 グラフは $x=2$ と $x=\frac{1}{2}$ で交わっており、$x$軸の下になる $x$ の範囲は $\frac{1}{2}<x<2$ です。これが答えとなります。 3例だけ挙げましたが、このように考えれば2次不等式を解くことはむずかしくないでしょう。

放物線（2次関数のことです）$y=-2x^2+ax+b$ の頂点の座標が $(-2,\ 5)$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求めなさい。 2次関数の頂点の座標がわかる一般的な形の式は $y=a(x-p)^2+q$ でした。それで与えられた式を平方完成します。 $y=-2\left(x^2-\frac{a}{2}x\right)+b=-2\left(x-\frac{a}{4}\right)^2+\frac{a^2}{8}+b$ この式から頂点の座標は $\left(\frac{a}{4},\ \frac{a^2}{8}+b\right)$ だとわかります。 この座標と $(-2,\ 5)$ が同じなので、$\frac{a}{4}=-2$ より、$a=-8$   さらに、 $\frac{a^2}{8}+b=8+b=5$ から、$b=-3$ 2次関数の式の標準的なものは $y=ax^2+bx+c$ でした。それで3つの座標が与えられ、3元1次方程式を解くような問題もあります。 2次関数が 3点 $(-1,\ -1),\ (2,\ 2),\ (3,\ -5)$ を通るとき、2次関数の式を求めなさい。 2次関数を  $y=ax^2+bx+c$ とおくと、座標を代入して3つの式ができる。 $a-b+c=-1,\ \ 4a+2b+c=2,\ \ 9a+3b+c=-5$ これを解いて ($c$ を消去するようにして中2の連立方程式にもちこむ） $a=-2,\ \ b=3,\ \ c=4$ となり、 $y=-2x^2+3x+4$ となります。

  2次関数の問題で変域を動かし、最大値と最小値を求める問題があります。 上のグラフは $f(x)=x^2-4x+2$ で $x$ の変域を $-1\leqq x\leqq b$ としたものです。 $b$ を変化させると、例えば、下のようになります。 上のグラフでは最大値は左側の $f(-1)=7$ となり、最小値は頂点の $y$ 座標です。 下のグラフでは最大値は同じですが、最小値は $f(b)$ となります。 これは、変域が動く場合ですが、変域が固定されて、グラフが左右に動く場合もあります。

2次関数を平方完成で変形すると頂点や軸の方程式を求めることができます。 $y=2x^2-12x+11$　まず、初めの2項から $2$ を括り出します。 $y=2(x^2-6x)+11$　$x$ の係数を半分にして、2乗の形にし、余分を引きます。 $y=2(x-3)^2-2\cdot 3^2 +11$　計算を続けます。$2\cdot 3^2$ の $2$ はカッコの前の $2$ です。 $y=2(x-3)^2-7$ 頂点は $(3,\ -7)$ で、放物線の軸は $x=3$ であることがわかります。 グラフにすると、 グラフも頂点が  $(3,\ -7)$ 、軸は $x=3$、そして $y$軸の切片が $11$ であることを示しています。（切片は最初の式の定数項です） ちなみに、この2次関数の場合、$x=3$ のとき、最小値 $-7$ であるという言い方をします。 また、中学のところでも言及しましたが、 2次関数の $y$ を $0$ にすると、途端に 2次方程式に変身です。この場合、 $2x^2-12x+11=0$ となります。この解は上のグラフで $x$軸との交点の $x$ 座標です。

$\frac{1}{3-\sqrt5}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、 $2a-b$ の値を求めなさい。 まず、有理化です。 $\frac{1}{3-\sqrt5}=\frac{3+\sqrt5}{(3-\sqrt5)(3+\sqrt5)}=\frac{3+\sqrt5}{4}$ $\sqrt5 = 2.236...$ だから分子は $5.236..$ になり、これを $4$ で割るので、 整数部分は $a=1$ 小数部分は元の数から整数部分の $1$ を引けばよいので、 $b=\frac{1}{3-\sqrt5} -1=\frac{-2+\sqrt5}{3-\sqrt5}$ 有理化して $=\frac{-11+5\sqrt5}{4}$ したがって、$2a-b=2-\frac{-11+5\sqrt5}{4}=\frac{19-5\sqrt5}{4}$

$A=|x+3|-|x-1|$ とします。 場合分けをして絶対値をはずすことになります。 絶対値の中が $0$ になる $x$ の値は $-3$ と $1$ です。 数直線を思い描いてください。この2つの数で数直線は3つに分けられます。 (1)　$x<-3$ のとき、絶対値の中身は2つとも負になりますので、 マイナスをつけて絶対値をはずします。 $A=-(x+3)+(x-1)=-4$ (2)　$-3\leqq x<1$ のとき、絶対値の中身は $|x-1|$ が負になりますので、 こちらにマイナスをつけて絶対値をはずします。$|x+3|$ はそのままはずれます。 $A=x+3+(x-1)=2x+2$ (3)　$1\leqq x$ のとき、絶対値の中身は2つとも正になりますので、 そのまま絶対値（または絶対値がカッコに変身）をとります。 $A=x+3-(x-1)=4$ ルートと2乗が絶対値に変わるとき $\sqrt{a^2+2a+1}=\sqrt{(a+1)^2}=|a+1|$ ルートと2乗は互いに打ち消しあって消滅というイメージですが、 絶対値が残ります。教科書などでは、$\sqrt{A^2}=|A|$ のように書いてあると思います。 例えば、$\sqrt{(-2)^2}=-2$ とはできません。ルートは負にはならないからです。 それで、$\sqrt{(-2)^2}=|-2|$ となり、$\sqrt{A^2}=|A|$ は $A$ が負の場合をクリアします。

①最小次数の文字で整理 $a^2+2ab-4a-6b+3$ の場合、最小次数の文字で整理する方法が有効です。 $a$ は2乗ですが、$b$ は2乗になっていないので、$b$ がある項とない項に分けます。 $a^2-4a+3+(2a-6)b=(a-1)(a-3)+2(a-3)b=(a-3)((a+2b-1)$ ②降べきの順に整理 $2x^2-2y^2+3xy-2x+11y-12$  のような場合、$x^2$,  $x$,  $x$ がない項に整理します。 $2x^2+(3y-2)x-2y^2+11y-12$　$y^2$ の項にマイナスがあるので、マイナスをくくります。 $2x^2+(3y-2)x-(2y^2-11y+12)$　 後半の$(\ \ \ \ \ )$の部分をたすきがけ、または暗算で因数分解します。 $2x^2+(3y-2)x-(y-4)(2y-3)$　たすきがけで因数分解します。 $(2x-y+4)(x+2y-3)$ ③あったらいいな　の項を加える $x^4+1$　このままでは因数分解できません。でも、もし $2x^2$ の項があれば... $x^4+2x^2+1$　これなら、$(x^2+1)^2$ と因数分解できます。しかし、 勝手に $2x^2$ の項を加えたので、ちゃんと引いておきます。 $x^4+2x^2+1-2x^2$　これなら元の式のままです。 $(x^2+1)^2-2x^2=(x^2+1+\sqrt2 x)(x^2+1-\sqrt2 x)$　整理整頓で $(x^2+\sqrt2 x+1)(x^2-\sqrt2 x+1)$ ④その他いろいろ 公式の $a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ を利用することもあります。 いろいろな問題にチャレンジしてみることで計算力が高まると思います。

展開の公式を逆からなぞるパターンがあります。 $(a+2b)^3=a^3+6a^2b+12ab^2+8b^3$ これは展開の公式を用いたものですが、果たして $a^3+6a^2b+12ab^2+8b^3$ を因数分解しなさいといわれたときに 公式が利用できると気づくかどうかです。

中学より、いくつか増えます。 $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ $(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$ $(x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3$ $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$ 5番目の公式は最近は中学でも出てきます。 公式は覚えても、実際の計算で1以外の係数がつくと頭の体操になります。 例えば、 $(2a+3b)^3=8a^3+36a^2b+54ab^2+27b^3$ これより係数が大きくなると、暗算はそれなりにしんどくなります。

覚えるべき直角三角形の辺の比 $1:2:\sqrt3$（ これは直角以外の角度が $30^{\circ}$ と  $60^{\circ}$）          小学校のときに使う定規の一つ $1:1:\sqrt2$（これは直角以外の角度が $45^{\circ}$ と $45^{\circ}$）          これも小学校のときに使う定規の一つ $3:4:5$（ 大工さんなどが昔から使っている直角を出すための比率） $5:12:13$（これはときどき登場します） この4つは覚えておきましょう。

円に内接する四角形の角度の決まりは高校の三角比などの問題でも重要になります。 ぜひ、覚えておきましょう。 円に内接する四角形の対角の和は $180^{\circ}$ となります。 とても大切です。

 よく出る問題として 始めに大きな黒の文字の $5$ と $8$ がわかっています。 黒の $x$ を求めましょう。 蝶ネクタイのように見える2つの三角形の相似から、 赤や青のような $5:8$ がわかってきます。 そして緑の $5:8$ もわかります。そうすると、レレの法則から $5:x=13:8$ となり、（または $8:x=13:5$） 計算すると $13x=40$  したがって、$x=\frac{40}{13}$ となります。

 なんちゃって解法で解くと簡単に解けることが多いようです。 レレの法則（ダッシュ・ダッシュではなく、le leです） この中でレっぽく見えるところで比例式を作ると $5:x=7:8$ となり、$x=\frac{40}{7}$ となります。 $5:x=2:8$ としないこと！（レの起点を同じ頂点にします） ハハの法則 $5:6=2:x$ $5x=12$ $x=\frac{12}{5}$ です。（ハに見える2ヶ所をあてはめています） レレの法則は向きを変えるとハハの法則と見ることもできます。 つまり、ハハの方が偉大です。

 例えば、$y=x^2$ と $y=x+6$ が次のように交わっています。 交点を求めましょう。連立して解きます。$y=$ の形なので、右辺どうしを$=$で結びます。 $x^2=x+6$ $x^2-x-6=0$ $(x+2)(x-3)=0$ $x=-2,\ \ x=3$ 交点の座標を$A(-2,\ 4)$、$B(3,\ 9)$ とします。　（$y$ は $x$ を2乗しただけ） △$OAB$ の面積を求めましょう。（原点を$O$ としました） $A$ と $B$ の座標だけですぐ求められます。 面積を $S$ とすると、$S=\frac{1}{2}|-2\times 9-4\times 3|=15$ 別解 $y$軸上で原点から切片までの長さは $6$でこれを底辺とすると、 左右に三角形ができているので、高さの合計は$2+3=5$ となり、 三角形の面積の公式から $S=\frac{1}{2}\times 6\times 5=15$ こっちの方が中学生らしいのですが、高校のことを考えて、上の解法も知っておくと 役立つと思います。

2次関数は曲線（放物線）なので、1次関数と異なり、 変化の割合が 変化 します。 ただし、求め方は簡単です。 例えば、2次関数 $y=3x^2$ で、$x$が $1$ から $4$ まで増加するときの 変化の割合は $3\times (1+4)=15$ これだけでした。 どの数字が用いられたかはお分かりでしょう！ つまり、端点の2つを足して、$x^2$の係数を掛けるだけです。 これは端点がマイナスでも同じです！

 2次関数 $y=x^2$ で  $x$ の変域が $-1\leqq x\leqq 3$ のとき、$y$ の範囲を求めなさい。 という問題では、$-1$ と $3$ の間にある $0$ という 特別な数に注意しなければなりません。というのはグラフからもわかりますが、 2次関数のグラフは原点$(0,\ 0)$ のところで曲がっているからです。 それで、$x$ の変域の端の点$x=-1$ と $x=3$ そして $x=0$ のときの $y$ の値を計算すると、それぞれ、$y=1,\ y=9,\ y=0$ となります。 このことからもわかりますように、$y$ の変域は $0\leqq y\leqq 9$ です。 くれぐれも、$1\leqq y\leqq 9$ としないように注意しましょう。

2次方程式は例えば、$x^2+8x+7=0$ などでした。 ここで、右辺の $0$ を $y$ に置き換えると、 $y=x^2+8x+7$ となります。 ですから、2次方程式は2次関数の $y$ を $0$ にしたものでした。 中学では $y=x^2+8x+7$ のような形ではなく、 $y=x^2$ や $y=3x^2$ などの少し簡単な形を学びました。 2次関数は1次関数よりある意味で簡単です。1次関数は2点で決まりましたが、 2次関数は（中学の場合）1点で決まるからです。例えば、 点$(2,\ 3)$ を通る2次関数を求めなさい。という問題なら、 $y=\frac{3}{4}x$ これだけです。$4$は$(2,\ 3)$ の $2$ を2乗したものでした。 つまり、分母に$x$座標の2乗、分子に $y$座標でOKとなります。

ボッチ（ひとりぼっち）を探す 例えば、 $\sqrt{1575a}$ が最小の自然となるような自然数 $a$ の値を求めなさい。 $1575$ を素因数分解すると、$3^2\times 5^2\times 7$ となる。 $3$ と $5$ はペアだが、$7$ はボッチ。 したがって、$a=7$ となります。 分数などでも同じ方法で答えがわかります。 いろいろなパターンの問題にチャレンジしてみましょう。

解法は ダイレクト、因数分解、解の公式、変形などがありました。 ダイレクトは $x^2=9$　なら、$x=\pm 3$　（$x=3,\ \ x=-3$ でもOK） 最初から因数分解されている場合は $(x+2)(x-4)=0$　なら、$x~-2,\ \ x=4$ $x^2-5x+6=0$　なら、因数分解して、$(x-2)(x-3)=0$ よって、$x=2,\ \ x=3$ 解の公式を使うのは、因数分解できない場合などです。 $x^2-5x+2=0$　これは因数分解できません。 解の公式は、$ax^2+bx+c=0$ のとき、$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ これを使って、 $x=\frac{5\pm \sqrt{25-8}}{2}=\frac{5\pm \sqrt{17}}{2}$ 変形による解法は平方完成という変形をします。例えば、 上記の $x^2-5x+2=0$ の場合、$\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{25}{4}+\frac{8}{4}=0$ として、$\left(x-\frac{5}{2}\right)^2=\frac{17}{4}$ したがって、$x-\frac{5}{2}=\pm \frac{\sqrt{17}}{2}$ よって、$\frac{5\pm \sqrt{17}}{2}$

 平方根の計算につきものといえば、有理化です。 分母からルートを追い払います。 $\frac{\sqrt3}{\sqrt5 - \sqrt2}$ を有理化すると $\frac{\sqrt3}{\sqrt5 - \sqrt2}\cdot \frac{\sqrt5 + \sqrt2}{\sqrt5 + \sqrt2}$　① ここで展開の公式 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ を使います。 $(\sqrt5 - \sqrt2)(\sqrt5 + \sqrt2)=\sqrt5^2-\sqrt2^2=5-2=3$ よって①は $\frac{\sqrt3 (\sqrt5 +\sqrt2)}{3}=\frac{\sqrt{15}+\sqrt6}{3}$

展開の公式で $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ がありました。 平方根の場合、例えば、 $(\sqrt3+\sqrt5)^2=\sqrt3^2+2\times \sqrt3 \times \sqrt5 + \sqrt5^2$  $=3+2\sqrt{15}+5=8+2\sqrt{15}$ しかし、この計算の場合、いちいち公式にあてはめて書く必要はなく、 頭の中で計算できます。（小学校1年と2年のレベルの計算） $3$ と $5$ を足して $8$　あとは $3\times 5=15$ だけです。 $(\sqrt3+\sqrt2)^2$ ならば、 $3+2$ から $5$ が出て、$3\times 2=6$ ができれば 答えは $5+2\sqrt6$ となります。 おそらく、3秒もかからないでしょう。

少し工夫すると計算が速くなったりします。 例えば、 $\sqrt{35}\times \sqrt{28}$ の場合、 $=\sqrt{980}$ のように計算しても間違いではありませんが.... $35$ と $28$ には $7$ という共通する数が含まれることを考えて $7\sqrt{4\times 5}$ となり、$4$ は $2$ としてルート前に出ることから $=14\sqrt 5$ このように計算すれば、慣れたら、暗算で答えが出てくるようになります。

 足し算と引き算ではルートの中身が同じでないと計算できません。 それで同じ値にする必要があります。 例えば、 $\sqrt{12}+\sqrt{75}$ の場合、ルートの中が $12$と$75$ と異なります。 それで、 $2\sqrt 3+5\sqrt 3$ として、 $7\sqrt3$ となります。

公式の利用でよくある間違い $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ この公式で $+2ab$ の部分を忘れる人が多い。 気をつけましょう。 展開より因数分解がテクニカルです。 例えば、 $ab+2a-3b-6$ の因数分解では公式と言えるものはありません。 $a(b+2)-3(b+2)=(a-3)(b+2)$ となります。 $x^2-7x+12$ の因数分解は、掛けて$12$、足して$-7$ になる ２つの数を見つけます。少し考えれば、$-3$ と $-4$ が思い浮かびます。 そうしたら $(x-3)(x-4)$ となります。慣れれば、とても簡単ですが..... まず、掛け算の方から考えましょう。 $12$ の場合、$1\times 12$、$2\times 6$、$3\times 4$と これらの数字にマイナスがついたものが候補となります。 これらのうち、足したり、引いたりして、$7$ になる数は $3$ と $4$ です。 足して $-7$ になるので、$-3$ と $-4$ ということになります。

確率はもれなく数えることが大切でした。 例えば、 「1, 2, 3, 4の数字が書かれた4枚のカードがある。カードをよくきってから 2回続けて取り出し、取り出した順にならべて、2けたの整数をつくる。 この整数が4の倍数になる確率を求めなさい」 一番小さな整数は　$12$ で大きな整数は $43$ 。 全部のパターンは $12,\ 13,\ 14,\ 21,\ 23,\ 24,\ 31,\ 32,\ 34,\ 41,\ 42,\ 43$ で$12$通り。 このうち、4の倍数は$12,\ 24,\ 32$ の3通り。 したがって、4の倍数になる確率は $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$ でした。

基本的なこととして、 $n$多角形の内角の和は、$180^{\circ}\times (n-2)$ です。 また、多角形の外角の和は、$360^{\circ}$ です。 とくに大切なのは「三角形の外角は隣り合わない内角の和に等しい」 というものです。下の図で $\angle A=\angle B+\angle C$ になります。

 高校でも出る問題です。 「3点$(2,\ -1),\ \ (3,\ 1),\ \ (6,\ a)$ が一直線上に並んでいる。$a$ の値を求めなさい」 傾きが同じなので、2つの点の組み合わせをつくり、 傾きが同じになるように $a$ を決めることになります。 2点$(2,\ -1),\ \ (3,\ 1)$ と $(2,\ -1),\ \ (6,\ a)$ の傾きをそれぞれ求めます。 引き算をするだけです。どちらにも $(2,\ -1)$ が含まれていることに注意！ $(2,\ -1),\ \ (3,\ 1)$ では　$(3,\ 1)-(2,\ -1)=(1,\ 2)$     ① $(2,\ -1),\ \ (6,\ a)$ では　$(6,\ a)-(2,\ -1)=(4,\ a+1)$     ② これらが等しくなるので、まず、①を $4$ 倍すると $(4,\ 8)$　③ ②と③が等しいので、$a+1=8$ となり、$a=7$ です。

1次関数は直線の式でもあります。 2つの直線が平行であることは、変化の割合（または傾き）が等しいことを意味します。 例えば $y=3x-5$ と$y=3x+2$ は変化の割合が同じ $3$ なので、平行です。 平行であることを見分けるもう一つの形があります。高校でも出てきますが、 例えば $2x+5y+4=0$ と $2x+5y-3=0$ は平行です。 このように $x$ と $y$ の係数が等しいとき、(または倍数のとき)平行になります。 変形すると、$y=-\frac{2}{5}x-2$ と $y=-\frac{2}{5}x+\frac{3}{2}$ となり、 傾きが同じであることがわかります。 問題として、 「直線 $2x-3y+1=0$ に平行で点$(-1,\ 4)$ を通る直線の式を求めなさい」 平行のとき、$x$ と $y$ の係数が等しいので、求めたい式は $2x-3y+c=0$ となります。通る点$(-1,\ 4)$ を代入して $c$ を求めればOKです。 代入すると、 $2(-1)-3\cdot 4+c=0$ より $c=14$ で 答えは、$2x-3y-14=0$

2つの直線（つまり1次関数）の交点は 連立方程式の解でもあります。 例えば「2直線 $y=3x+1$ と$y=-2x+3$ の交点を求めなさい」という問題は 「連立方程式を解きなさい」ということと同じ意味です。 2つの式が両方とも $y=\cdots $ で始まる場合には右辺を$=$で結んで解きます。 $3x+1=-2x+3$ より $5x=2$ よって $x=\frac{2}{5}$ 　これを $y=3x+1$ に代入して $y=3\times \frac{2}{5}+1=\frac{11}{5}$  したがって、交点の座標は $\left(\frac{2}{5},\ \frac{11}{5}\right)$ です。

 1次関数は2点がわかれば、決定します。 つまり、$a$ と $b$ がわかります。 例えば、2点 $(1,\ 4)$、$(3,\ 7)$ を通る1次関数の式を求めるとき、 引き算をして、$(3,\ 7)-(1,\ 4)=(2,\ 3)$ 　これより、 $y=\frac{3}{2}x+b$ となります。あとは $b$ を求めるために 2点のうちの一つ $(1,\ 4)$ を代入します。 $4=\frac{3}{2}\times 1+b$ $b=\frac{5}{2}$ です。したがって $y=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}$ これで完成です。 引き算するときはなるべく大きい数の方から小さい方を引きましょう。 あるいはマイナスがなるべく出ないように引きましょう。 $b$ を求めるときは数字が小さい方の点を代入したほうがミスが軽減します。 直線のグラフから1次関数の式を求めるときには2点を決めればよいのです。

 典型的な問題は 「$y=3x-2$ で $x$ の変域が $-4\leqq x\leqq 5$ のとき、$y$ の変域を求めなさい」 1次関数の式をみながら、 $x$ の変域を変えていきます。 まず$3$倍します。$-12\leqq 3x\leqq 15$ $2$を引きます。$-14\leqq 3x-2\leqq 13$ $y=3x-2$ ですから、$3x-2$ を $y$ と交換します。 $-14\leqq y\leqq 13$ これで完成です。 暗算でも簡単に求められますが、数学っぽくてクールです。 「$y=-2x+3$ で $x$ の変域が $-4\leqq x\leqq 5$ のとき、$y$ の変域を求めなさい」 まず、$-2$倍します。このとき、不等号の向きが逆になります。 $8\geqq -2x\geqq -10$ 不等号の向きは左向きがふつうなので、（小さい数が左になる） $-10\leqq -2x\leqq 8$ $3$ を足すと $-7\leqq -2x+3\leqq 11$ $-2x+3$ を $y$ におきかえて $-7\leqq y\leqq 11$

1次関数は比例の兄貴のようなものです。 比例は原点$(0,\ 0)$を必ず通りますが、1次関数は原点以外も通ります。 1次関数はグラフでは直線を表します。 1次関数の式は $y=ax+b$ です。 1次関数の問題はつまるところ、この式の $a$ と $b$ を求めることです。 $a$ を「変化の割合」または「傾き」 $b$ を「切片」ということもあります。

「 塩水 で のど のうがいを しよう 」（のど→のうど、しよう→しお） ネット上では風邪予防などに効果ありとなっています。 問題を解くためにも効果があります。 食塩水$(g)\times $濃度(百分率を分数で)$=$塩$(g)$　という意味です。 典型的な問題は「$4\%$の食塩水と$10\%$の食塩水を混合したら、 $8\%$の食塩水が$300(g)$できました。それぞれ何$g$ずつを混合しましたか」 $4\%$の食塩水を$x(g)$、$10\%$の食塩水を$y(g)$とする。 混合したので足し算となります。 $x+y=300$　① さらに、「 塩水 で のど のうがいを しよう 」より $x\times \frac{4}{100}+y\times \frac{10}{100}=300\times \frac{8}{100}$　② という連立方程式となります。 ②式を$100$倍すると $4x+10y=2400$ ①式を$4$倍すると $4x+4y=1200$ これらを引くと $6y=1200$ で $y=200$ よって $x=100$ $4\%$の食塩水が$100(g)$、$10\%$の食塩水が$200(g)$でした。

 はじきの法則（オリジナルネーミング）でほとんど解ける。 速さ$\times$時間$=$距離　この式にあてはめる。 「A君の家からC君の家までは$2.8(km)$ある。 A君は家から自転車でB君の家まで行き、そこからB君と2人でC君の家まで歩いた。 B君の家までは時速$30km$、C君の家までは毎分$80m$の速さだった。 かかった時間は全部で$14$分だった。A君の家からB君の家に着くまでにかかった時間を 求めなさい」 まず、求めたい「A君の家からB君の家に着くまでにかかった時間」を$x$分とする。 また、「A君の家からB君の家までの距離」を$y(m)$とする。 単位を$m$と分に統一しよう。 時速$30km$は$1$時間で$30km$進むということなので、言い換えると $60$分で$30000m$進むことになり、$60$で割ると $1$分で$500m$ということで、分速$500m$になる。 また、$2.8(km)=2800(m)$となる。 速さ$\times$時間$=$距離　この式にあてはめてみよう。 $500\times x=y$ $80\times (14-x)=2800-y$ このように2つの式ができる。単位さえ統一されれば代入するだけ！ 下の式を展開し、$y$ のところに上の式を代入すると $1120-80x=2800-500x$ $420x=1680$ これを解くと、$x=4$となり、答えは$4$分になる。

連立方程式は例えば \begin{cases} 2x-3y=-2\\ -x+2y=3 \end{cases} 下の式を$2$倍すると、$-2x+4y=6$ となり、これと上の式を 足すと、$y=4$ が出ます。 これを下の式（なるべく係数が小さい式を選ぶのがコツでした）に代入すると $-x+8=3$ となり、$x=5$ となりました。

文字式の利用の一つとして、簡単な証明がありました。 例えば、連続する2つの奇数の和は4の倍数となることを証明する場合、 連続する2つの奇数を $2n+1,\ \ 2n+3$ とします。ただし$n$は整数です。 これらの和は $2n+1+2n+3=4n+4=4(n+1)$ ここで $n+1$ は整数だから、$4(n+1)$ は4の倍数。 のような流れでした。 結論を書かないと減点になるかもしれません。 答えの最後の１行に 「したがって、連続する2つの奇数の和は4の倍数となる」と 書いておくことが必要でした。

 式の値を求めるときは、できるだけ式を簡単な形に変形してからです。 例えば、$x=3,\ \ y=-2$ のとき、 $-15x^3y\div (-5x)\times 2y$ の値を求めるなら、 $-15x^3y\div (-5x)\times 2y$ $=\frac{15x^3y\times 2y}{5x}$ $=6x^2y^2$ として、$x=3,\ \ y=-2$ を代入し、 $=6\times 9\times4=216$ となりました。

円錐の体積は $V=\frac{1}{3}\pi r^2 h$ となっています。 底面の円の面積の $\pi r^2$ に高さ $h$、さらに $\frac{1}{3}$ を掛けていました。 例えば、この式を $h=\cdots$ で表す場合、 右辺と左辺を交換して、$\frac{1}{3}\pi r^2 h=V$ 両辺を$3$倍して $\pi r^2 h=3V$ 両辺を$\pi r^2$ で割って、$h=\frac{3V}{\pi r^2}$　😂

 円錐(えんすい)を開いたおうぎ形 円錐はこんな形です。 母線の長さを$R$、底面の円の半径を$r$ とすると 円錐の側面積は　$Rr\pi$ となります。 これは母線に沿って切り開いたときにできる扇型の面積と同じです。 覚えておくと便利です。 「アールアールパイ」と音で覚えるのもおすすめです。

 比例 $y$は$x$に比例し、$x=4$ のとき、$y=-6$ である。 $y=ax$ の形で表しなさい。 与えられた $x$の値を$y$の値の分母にします。つまり、 $\frac{-6}{4}$ として、約分すると、$\frac{-3}{2}$ 　これより、 $y=-\frac{3}{2}x$ なぜ、$x$の値を$y$の値の分母にするかというと、$y=ax$ より $a=\frac{y}{x}$ だからです。 反比例 反比例は$\times$だけなので、比例より簡単です。 $y$は$x$に反比例し、$x=-2$ のとき、$y=-3$ である。 $y=\frac{a}{x}$ の形で表しなさい。 与えられた$x$の値と$y$の値を掛けます。$(-2)\times (-3)=6$ これより、 $y=\frac{6}{x}$ なぜ掛けるのでしょうか。反比例の式は$y=\frac{a}{x}$ であり、 変形すると、$a=xy$ だからです。

方程式が分数の形になっているとき。 例えば、 $\frac{x-2}{3}-\frac{x+1}{4}=1$ 分母の最小公倍数の$12$をかけて、 $12\times \frac{x-2}{3}-12\times \frac{x+1}{4}=12\times 1$ 約分すると $4(x-2)-3(x+1)=12$ $x=23$

 $x$ 円の $2$割増し$\rightarrow$ $1.2x$(円)  $x$ 円の $3$割引き$\rightarrow$ $0.7x$(円)  $x(kg)$ が $10\%$増加$\rightarrow$ $1.1x(kg)$  $x(kg)$ が $40\%$減少$\rightarrow$ $0.6x(kg)$ このようにできれば楽になる。例えば、 「今日のパンの売り上げは昨日より$20\%$減少した。 その結果、売り上げは$40000$円だった。昨日の売り上げはいくらか」 昨日の売り上げを$x$円とすると、$0.8x=40000$　$10$倍して $8x=400000$　したがって、$x=50000$ 昨日の売り上げは$50000$円だった。

速さの問題は はじきの法則（オリジナルネーミングです） 速さ　$\times$　時間　$=$　距離（道のり） このように覚えることもできます。 例えば、 分速 $x(m)$ で$600(m)$ 歩いたら $3$ 分かかった。 はじきの法則にあてはめて、 $x\times 3=600$ $x=200$ で、分速$ 200m$　となります。

 次のような分数の式の計算では間違いのパターンが2つあります。 その一つは $\frac{a-3}{2}-\frac{2a-1}{5}=5(a-3)-2(2a-1)=a-13$ これは分母の $10$ が消えてしまっています。 もう一つは $\frac{a-3}{2}-\frac{2a-1}{5}=\frac{5a-15-4a-2}{10}=\frac{a-17}{10} $  これは分母は消えていませんが、分子の計算で後半の符号を間違えています。 正しくは $\frac{a-3}{2}-\frac{2a-1}{5}=\frac{5a-15-4a+2}{10}=\frac{a-13}{10} $ 分子の$+2$を$-2$とするミスが多いようです。

 よく間違ってしまう計算がありました。 $\frac{a}{bc}$　これを分数でない式にするとき、 $a\div b\times c$　としたらまちがいでした。 正解は $a\div b\div c$ $\div$の右の数は分母...と覚えておけば間違いがありません。

 正負の数の足し算と引き算では早めに（　　）を外して計算する。例えば、 $(-1)+(-5)-(+4)-(-6)$は $-1-5-4+6$として $-10+6=-4$とします。 小学校の算数と同じように掛け算と割り算を優先します。例えば、 $-8+(-6)\div \frac{12}{5}$ では $(-6)\div \frac{12}{5}$ をまず計算。 $-8+(-6)\div \frac{12}{5}=-8-6\times \frac{5}{12}=$ $-8-\frac{5}{2}=-\frac{16}{2}-\frac{5}{2}=-\frac{21}{2}$ 

 割り算は掛け算に直すのでした。 たとえば、 $\frac{1}{7}\times \frac{9}{5}\div \frac{9}{7}=$ $\frac{1}{7}\times \frac{9}{5}\times \frac{7}{9}=\frac{1}{5}$ 約分ができるところでは約分を忘れてはならないのでした。 小数と分数が混じっているときには、大抵の場合、小数を分数にしました。 たとえば、 $8\div 1.6\times 0.3=$ $8\div \frac{16}{10}\times \frac{3}{10}=$ $8\times \frac{10}{16}\times \frac{3}{10}=\frac{3}{2}$ $8$は分数の$\frac{8}{1}$とみなします。

 小数の計算で工夫できることがありました。 例えば、 $40\times 0.8$ のような計算の場合、 $40$の$0$をとって、その代わりに$0.8$を$8$にするのでした。 そうすれば、 $4\times 8$となり、答えは$32$というように簡単になりました。 いいかえると、 $40$は$10$で割り、$0.8$は$10$を掛けたのです。 また、例えば、 $30\div 7.5$の場合、 どちらの数にも10を掛けて $300\div 75$とすれば、簡単に計算できました。

 約数はふつう頭の中で求めます。そのとき、次のように考えることができました。 例えば、$60$の約数の場合、 $1,\ \ 60$ $1,\ 2, \ 30,\ 60$ $1,\ 2,\ 3,\ 20,\  30,\ 60$ $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 15,\ 20,\  30,\ 60$ $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 12,\ 15,\ 20,\  30,\ 60$ $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 10,\ 12,\ 15,\ 20,\  30,\ 60$ このように外側から埋めていきました。 ミスがなくなりやすいのでした。

工夫すると暗算だけで計算できることがありました。 $57\times 8+43\times 8$ $=(57+43)\times 8$ $=100\times 8$ $=800$ 中学では因数分解の応用として習いました。

 計算の優先順序$\ +,\ -,\ \times\ \div\ $ たとえば、 $7-48\div 8=7-6=1$ のように最初に$48\div 8=6$　という割り算をして、次に引き算をしました。 （　　）があれば、（　　）内の計算を優先しました。たとえば、 $20\div 4\times (5-2)=20\div 4\times 3=5\times 3=15$ のように(      )の中の $5-2=3$ を計算して、次に 左から $20\div 4=5$ 最後に$5\times 3=15$　というように左から計算しました。

分母が異なるときの分数の計算 $\frac{1}{3}+\frac{2}{5}=\frac{1\times 5+2\times 3}{3\times 5}$ $=\frac{1+6}{15}=\frac{7}{15}$ このようにすると速いと思います。分母は掛けて、分子には分母の数とのたすきに掛けます。

 料理の話 赤飯＋栗のごはん 友人にもらって食べたら美味しかった。作り方をあとで教えてもらいました。もち米に赤飯のもとと皮を剥いた栗を入れて炊くそうです。美味しいので今度作ってみたいと思いました。

$4+7=11$　これは$1+3+7=1+10=11$のようなイメージでした。 $13+8=21$　これは$12+1+8=12+8+1=20+1=21$のようなイメージでした。 $15-8=7$　これは$15-5-3=10-3=7$のようなイメージでした。 $43-7=36$　これは$43-3-4=40-4=36$のようなイメージでした。 人によってイメージはいろいろ。桁数が増えると、 人によってイメージはいろいろ。桁数が増えると、 $67+38=105$　少しずつめんどうになりました。 $207-128=79$　こうなると大変でした。検算も必要になりました。 掛け算も登場です。 $6\times 7=42$　これなどはまちがいやすい計算でした。 割り算も登場です。 $48\div 8=6$　これは($8\times 6=48$)のように考えることもできました。 $36\div 4=9$　これも「しく$36$」ができれば大丈夫でした。 つぎに進むためにはここまでの計算が土台となりました。

$e^{i\pi}=-1$ MathJaxで数式表示ができました。 このブログでは小学校から高校（大学）までの数学を大雑把に、 しかし、スピーディーに復習できるようになっています。 いくつかのポイントとなる点を挙げています。 数学が苦手な人が少しでも楽になるように。 そして学校の成績を上げて、自信と自尊心を高めることができるように。 そう思っていますが（簡単なことではないことも理解しています） 数学の本質という言葉もありますが、それはあまり気にせず、 計算ができるようになり、成績が上がり、家族も自分もハッピーになれる。 楽器を演奏する人は数学の成績がいいという研究結果があるようです。 食べるものだって、脳の働きに影響するかもしれません。 それで、音楽（ギター）や料理のことも少し載せています。 iPhoneとiPadで動くアプリを作っていますので、紹介していきます。