高校数学（2次不等式と判別式）

2次不等式を考えるときは、2次関数のグラフを思い浮かべましょう。

2次関数のグラフを思い浮かべるのに助けとなるのは判別式です。

$y=ax^2+bx+c$  または  $ax^2+bx+c=0$ に対して、判別式は $D=b^2-4ac$ です。

$x$ の係数が偶数のときは、$D=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac$ も使えます。

判別式を使うと、グラフ（放物線）が $x$軸とくっついているか、離れているかがわかります。

2次不等式を考えるときは右辺を $0$ にすることがほとんどですが、

この $0$ は $x$軸のことです。これを忘れないようにしましょう。

(1) $x^2-3x+4>0$

これを解くことは、放物線が $x$軸の上にある $x$ の範囲を求めるということです。

判別式は $D=9-16<0$ なので、 $x$軸と離れています。

下に凸（$x^2$の係数がプラス）の放物線が $x$軸と離れていることを頭に思い描きましょう。

放物線が $x$軸の上にある $x$ の範囲は全範囲なので、答えは「すべての実数」です。

(2) $x^2-4x+4<0$

判別式は $0$ なので、$x$軸と接しています。下に凸です。

この式は放物線が $x$軸の下側にある $x$ の範囲を聞いているのですが、

放物線は全範囲で  $x$軸の下側にはありませんので、答えは「解なし」です。

(3) $-2x^2+5x-2>0$

$x^2$ の係数がマイナスのときは全体に $-1$ を掛けて、プラスにしておきましょう。

そうすると、$2x^2-5x+2<0$ となります。

$D>0$ なので、 $x$軸と2点で交わっています。下に凸の放物線です。

放物線が  $x$軸の下側に一部あります。

因数分解すると、$(x-2)(2x-1)<0$ となります。

グラフは $x=2$ と $x=\frac{1}{2}$ で交わっており、$x$軸の下になる $x$ の範囲は

$\frac{1}{2}<x<2$ です。これが答えとなります。

3例だけ挙げましたが、このように考えれば2次不等式を解くことはむずかしくないでしょう。