高校数学（三角関数の合成）

三角関数の合成は加法定理の逆です。

合成は図を書けば、すぐに求められるのですが、加法定理の逆の計算から求められるようにしておくことも必要です。

加法定理は $sin$ の場合、

$sin(\alpha+\beta)=sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta$　①

例えば、$\beta=\frac{\pi}{6}$ とすると、$cos\beta=\frac{\sqrt3}{2}\ \ \ sin\beta=\frac{1}{2}$ 

これらを①式にあてはめると、

$sin(\alpha+\frac{\pi}{6})=sin\alpha \cdot  \frac{\sqrt{3}}{2} + cos\alpha \cdot \frac{1}{2}$　両辺を2倍して、

$2sin(\alpha+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}sin\alpha + cos\alpha$

左右交換して、

$\sqrt{3}sin\alpha + cos\alpha=2sin(\alpha+\frac{\pi}{6})$

公式的には、

$asin\theta+bcos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sin\theta+\frac{b{\sqrt{a^2+b^2}}cos\theta\right)$
$=\sqrt{a^2+b^2}(sin\theta cos\alpha+cos\theta sin\alpha)$　ここで、
$sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$　　$cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$

例えば、$3sin\theta+\sqrt{3} cos\theta$ を合成しなさいとなったら

まず、$\sqrt{3}$ を括り出し、$\sqrt{3}(\sqrt{3}sin\theta+1 \cdot cos\theta)$ とします。

数字の部分を見慣れた三角関数の値にして補正します。

$2\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}sin\theta+\frac{1}{2}cos\theta)$

$cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$、$sin\alpha=\frac{1}{2}$ になるのは

$\alpha=\frac{\pi}{6}$ のときです。それで、

$2\sqrt{3}(sin\theta cos\frac{\pi}{6}+cos\theta sin\frac{\pi}{6})$  したがって、

$2\sqrt{3}sin(\theta + \frac{\pi}{6})$　これで完了です。

図で求める場合も、$\sqrt{3}$ を括り出し、$\sqrt{3}(\sqrt{3}sin\theta+cos\theta)$ とします。

$sin\theta$ の係数を横軸に、$cos\theta$ の係数を縦軸にプロットします。

原点から図のように線を引きます。すると、角度がわかります。$\frac{\pi}{6}$ です。

線の長さと括り出した $\sqrt{3}$ をかけて、次のようになります。

$2\sqrt{3}sin(\theta + \frac{\pi}{6})$　これで完了です。

$cos$ で合成する場合、加法定理から、

$cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta$ = $cos(\alpha - \beta)$ を使うと

例えば、$3sin\theta+\sqrt{3} cos\theta$ を $cos$ で合成する場合、

$\sqrt{3}(\sqrt{3}sin\theta+1\cdot cos\theta)$　（$\sqrt3$ でくくった）

$=2\sqrt{3}(cos\theta \cdot \frac{1}{2} + sin\theta \cdot \frac{\sqrt3}{2} $

$=2\sqrt{3}(cos\theta \cdot cos{2} + sin\theta \cdot \frac{\sqrt3}{2} $

$cos$ で合成するのも同様です。まとめておきます。

$asin\theta + bcos\theta=rsin(\theta+\alpha)=rcos(\theta-\beta)$

ただし、$r=\sqrt{a^2+b^2}$、  $(a,\ b)=(rcos\alpha,\ rsin\alpha)$,    $(b,\ a)=(rcos\beta,\ \ rsin\beta)$

例えば、$\sqrt{3}sin\theta + cos\theta$ を $cos$ で合成すると、

$(1,\ \sqrt{3})=2\left(\frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\left(2cos\frac{\pi}{3},\ \ 2sin\frac{\pi}{3}\right)$

それで、$\sqrt{3}sin\theta + cos\theta=2cos\left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)$ となります。