高校数学（三角関数の最大最小）

三角関数の最大最小問題は2次関数に帰着するものと、合成して考えるものがあります。

例えば、$y=2cos^2x-sinx+1$  ただし、$0\leqq x < 2\pi$  とする。

このように条件が与えられて最大最小を求める場合、

$sin^2x+cos^2x=1$ から、

$cos^2x=1-sin^2x$ であるから、上の式に代入して

$y=2(1-sin^2x)-sinx+1$　整理すると、

$y=-2sin^2x-sinx+3$　平方完成すると、

$y=-2\left(sinx+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{25}{8}$

$sinx = t$ とすると、$y=-2\left(t+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{25}{8}$

$0\leqq x < 2\pi$ の範囲では、$-1\leqq sinx \leqq 1$  となるので、

$-1\leqq t \leqq 1$  となる。図は以下の通り。

最大値は頂点の $y=\frac{25}{8}$ 座標。最小値は $x=1$ の部分で $y=0$