高校数学（2次関数のポピュラーな問題）

放物線（2次関数のことです）$y=-2x^2+ax+b$ の頂点の座標が $(-2,\ 5)$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求めなさい。

2次関数の頂点の座標がわかる一般的な形の式は $y=a(x-p)^2+q$ でした。それで与えられた式を平方完成します。

$y=-2\left(x^2-\frac{a}{2}x\right)+b=-2\left(x-\frac{a}{4}\right)^2+\frac{a^2}{8}+b$

この式から頂点の座標は $\left(\frac{a}{4},\ \frac{a^2}{8}+b\right)$ だとわかります。

この座標と $(-2,\ 5)$ が同じなので、$\frac{a}{4}=-2$ より、$a=-8$   さらに、

$\frac{a^2}{8}+b=8+b=5$ から、$b=-3$

2次関数の式の標準的なものは $y=ax^2+bx+c$ でした。それで3つの座標が与えられ、3元1次方程式を解くような問題もあります。

2次関数が 3点 $(-1,\ -1),\ (2,\ 2),\ (3,\ -5)$ を通るとき、2次関数の式を求めなさい。

2次関数を  $y=ax^2+bx+c$ とおくと、座標を代入して3つの式ができる。

$a-b+c=-1,\ \ 4a+2b+c=2,\ \ 9a+3b+c=-5$

これを解いて ($c$ を消去するようにして中2の連立方程式にもちこむ）

$a=-2,\ \ b=3,\ \ c=4$ となり、

$y=-2x^2+3x+4$ となります。