高校数学（三角関数は公式が多いが...）

加法定理

高校のとき、（かなり昔ですが）数学の先生が「家宝」定理とおやじギャグ的に表現しておられました。

それだけ大切だと強調されたかったのだと思います。

加法定理は以下の4つの式を覚えたら、他は計算できるようにしておきましょう。

$sin(\alpha +\beta)=sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta$　　①★

$sin(\alpha -\beta)=sin\alpha cos\beta - cos\alpha sin\beta$　　②

$cos(\alpha +\beta)=cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta$　　③★

$cos(\alpha -\beta)=cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$　　④

4つですが、★マークの2つを覚えれば、プラスマイナスの違いだけです。

例えば、①と③で辺々割り算をして、分母分子を$cos\alpha cos\beta$ で割れば、$tan(\alpha+\beta)$ を求めることができます。

2倍角の公式は、例えば、$sin$ の場合、①の $sin(\alpha +\beta)$ を $sin(\alpha +\alpha)$ つまり $sin2\alpha$ (2倍角)として計算できます。

2倍角の公式は頻繁に登場するので、少なくとも $sin$ と $cos$ については覚えるべきです。 $tan$ は辺々割れば求められます。

3倍角の公式は暗記はやっかいだと思いますので、計算 $sin(\alpha+2\alpha)$ などから求められるように練習しておきましょう。

半角の公式というものもありますが、特に、次の形を覚えておきたいところです。

$sin^2\theta=\frac{1-cos2\theta}{2}$

$cos^2\theta=\frac{1+cos2\theta}{2}$

どちらも右辺が $cos$ です。これらの式は $cos$ の2倍角の公式である

$cos2\theta = cos^2\theta - sin^2\theta =1-2sin^2\theta=2cos^2\theta-1$ 

これらを変形して得られています。

これらの公式は微分積分などでもよく利用されています。

こうした三角関数の公式群は最小限(上記★の式)だけを覚えて、残りを計算で導けるようにしておくのは、めんどうだと思えるかもしれませんが、実際にはそれほど時間がかかりませんので、試験のときでも十分通用します。（もちろん、覚えておけば、それだけ速く解答できます）