(1) $sin^2\theta + cos^2\theta =1$ これは最も多用される式です。
(2) $tan\theta = \frac{sin\theta}{cos\theta}$ バス停の法則にあやかり「志子田くん」で。
さらに、(1)の両辺を $cos^2\theta$ で割ると
$\frac{sin^2\theta}{cos^2\theta}+\frac{cos^2\theta}{cos^2\theta}=\frac{1}{cos^2\theta}$
したがって、
(3) $tan^2\theta+1=\frac{1}{cos^2\theta}$
(1), (2), (3)はどれも大切な公式ですので、覚えておきたいところです。
特に最後の $cos^2\theta$ で割ることなどは他の公式でも応用できる部分です。
代表的な問題は、例えば、
$sin\theta=\frac{1}{2}$ のとき、$cos\theta$ と $tan\theta$ の値を求めなさい。
ただし、$0^{\circ}\leqq \theta \leqq 180^{\circ}$
$sin^2\theta + cos^2\theta =1$ の出番です。
$sin\theta=\frac{1}{2}$ を代入すると、$\frac{1}{4} + cos^2\theta =1$ より
$cos^2\theta =1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$
したがって、$cos\theta =\pm \frac{\sqrt3}{2}$ $tan\theta=\pm \frac{1}{\sqrt3}$
いったん、上のように図を書けば、$cos$ も $tan$ も図からすぐにわかります。
しかし、図を書かなくても簡単に求めることができるのです。
まず、$sin$ は $y$ の値、$cos$ は $x$ の値なので、
$sin$ は第一象限と第二象限でプラスになること、
$cos$ は第一象限でプラス、第二象限でマイナスになることを覚えておきましょう。
そうすれば、$sin\theta =\frac{1}{2}$ に対して、$cos$ は $sin$ と分母が同じで、
$sin$ の分母の二乗から分子の2乗を引いた数のルートが $cos$ の値になると
覚えておけば、すぐに求めることができます。
図を書かなくても、わずか数秒でOKです。
そのとき、プラスとマイナスを間違えないようにしましょう。
例えば、$cos\theta=\frac{1}{2}$ のとき、$sin\theta$ の値を求めなさい。
ただし、$0^{\circ}\leqq \theta \leqq 180^{\circ}$
$sin\theta=\frac{?}{2}$ （$cos$ と分母は同じです）
$\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$（分母の2乗から分子の2乗を引いた数のルートを計算しました）
$sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$ （分子におきました。$sin$ は第一と第二象限はプラス）
ぜひ、いろいろな問題で試してみてください。
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