孤独の数学（孤独の忍者のブログ）

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指数と対数の計算はよく練習しておく必要があります。 指数の計算の例をいくつか。 (1)　$(a^2)^4=a^8$　（$2\times 4=8$ という計算です） (2)　$a^2\times a^4=a^6$　（$2+4=6$ という計算です） (3)　$(ab^3)^2=a^2b^6$　（2乗が分配されるようなイメージです） (4)　$\frac{a^5}{a^2}=a^{5-2}=a^3$　（上から下を引くイメージです） (5)　$a^0=1$ (6)　$a^{-3}=\frac{1}{a^3}$ (7)　$log_23+log_25=log_215$　（$3\times 5=15$ という計算です） (8)　$log_215-log_23=log_25$　（$15\div 3=5$ という計算です） (9)　$log_53^2=2log_53$　（$log_53^2$ と $(log_53)^2$ とは別物です） 　　前者の $2$乗は $3$ にだけかかりますが、後者は $log$ の値全体にかかります。 (10)　$log_{10}1=0$　（真数が $1$ だと$log$ の値は $0$ です） (11)　$log_{10}10=1$　（底と真数が同じだと $log$ の値は $1$ です 例えば、(5)で底を $a$ として両辺の対数をとると $log_aa^0=log_a1$ 左辺は(9)から $0\times log_aa=0$ 右辺は(10)から $0$ となります。 このように、"両辺の対数をとる" という手法を覚えると指数と対数の行き来ができて便利です。 計算問題では、「底の変換」が必要となる場合があります。（底を別の数字に変える） $log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}$ 左辺にない $c$ が右辺にありますが、これは都合のよい数なら何でもOKです。もちろん、 $c$ は正で、さらに $1$ であってはなりません。 例えば、$log_6{18}$ であれば、 底を $2$ とすれば、$log_6{18}=\frac{log_2{18}}{log_2{6}}$ 底を $3$ とすれば、$log_6{18}=\frac{log_3{18}}{log_3{6}}$ 底を $5$ とすれば、$log_6{1

指数関数は、$y=a^x$ で、$a<1$ と $a>1$ でグラフが $y$軸対象になります。 $a^0=1$ なので、グラフは必ず $y$軸上の点$(0,\ 1)$を通ります。 グラフを頭に思い浮かべられるようにしましょう。いろいろな問題を解くときに役立ちます。 赤は $y=3^x$ で、青は $y=\left(\frac{1}{3}\right)^x $ です。これは $y=3^{-x}$ とも 表せます。指数関数の逆関数となるのが、対数関数です。 対数関数は $y=log_ax$ です。ここで、$a$ を「底」(てい)といいます。$a\ne 0, \ 1$ です。 また、$x$ を「真数」といい、$x>0$ となります。これを真数条件といいます。 グラフは指数関数と $y=x$ に関して対称となります。 赤が $y=log_3x$ です。青は $y=3^x$ です。 これら2つのグラフは緑の $y=x$ に関して対称になっていることがわかります。 さて、大切なこととして、$y=log_3x$ を見たとき、$x=3^y$ がすぐに わかるようにしておきましょう。 例えば、$log_2x=3$ のとき、$3$ を小さくして、$2$ の肩に乗せ、$x$ と $=$ でつなぐというようなイメージです。

三角関数の合成は加法定理の逆です。 合成は図を書けば、すぐに求められるのですが、加法定理の逆の計算から求められるようにしておくことも必要です。 加法定理は $sin$ の場合、 $sin(\alpha+\beta)=sin\alpha cos\beta + cos\alpha sin\beta$　① 例えば、$\beta=\frac{\pi}{6}$ とすると、$cos\beta=\frac{\sqrt3}{2}\ \ \ sin\beta=\frac{1}{2}$  これらを①式にあてはめると、 $sin(\alpha+\frac{\pi}{6})=sin\alpha \cdot  \frac{\sqrt{3}}{2} + cos\alpha \cdot \frac{1}{2}$　両辺を2倍して、 $2sin(\alpha+\frac{\pi}{6})=\sqrt{3}sin\alpha + cos\alpha$ 左右交換して、 $\sqrt{3}sin\alpha + cos\alpha=2sin(\alpha+\frac{\pi}{6})$ 公式的には、 $asin\theta+bcos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sin\theta+\frac{b{\sqrt{a^2+b^2}}cos\theta\right)$ $=\sqrt{a^2+b^2}(sin\theta cos\alpha+cos\theta sin\alpha)$　ここで、 $sin\alpha=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$　　$cos\alpha=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 例えば、$3sin\theta+\sqrt{3} cos\theta$ を合成しなさいとなったら まず、$\sqrt{3}$ を括り出し、$\sqrt{3}(\sqrt{3}sin\theta+1 \cdot cos\theta)$ とします。 数字の部分を見慣れた三角関数の値にして補正します。 $2\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}sin\theta+\frac{1}{2}cos\theta)$ $cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$、$sin\alpha=\f

三角関数の最大最小問題は2次関数に帰着するものと、合成して考えるものがあります。 例えば、$y=2cos^2x-sinx+1$  ただし、$0\leqq x < 2\pi$  とする。 このように条件が与えられて最大最小を求める場合、 $sin^2x+cos^2x=1$ から、 $cos^2x=1-sin^2x$ であるから、上の式に代入して $y=2(1-sin^2x)-sinx+1$　整理すると、 $y=-2sin^2x-sinx+3$　平方完成すると、 $y=-2\left(sinx+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{25}{8}$ $sinx = t$ とすると、$y=-2\left(t+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{25}{8}$ $0\leqq x < 2\pi$ の範囲では、$-1\leqq sinx \leqq 1$  となるので、 $-1\leqq t \leqq 1$  となる。図は以下の通り。 最大値は頂点の $y=\frac{25}{8}$ 座標。最小値は $x=1$ の部分で $y=0$

三角比のときは $0$ から $\pi$ まででしたが、三角関数は1周です。 つまり、$0$ から $2\pi$ まで（もちろんマイナスもあり、もっと大きな範囲も考えます） $0\leqq \theta < 2\pi$ という範囲指定が多くなります。 この範囲で、例えば、 $sin\theta \leqq \frac{1}{2}$ の場合、単位円で考えると、$y\leqq \frac{1}{2}$（＊） $0$ から左周りで一周するように考えると、あてはまる角度は $0\leqq \theta <\frac{1}{6}\pi$ と  $\frac{5}{6}\pi < \theta <2\pi$ です。 紫色の部分でした。 （＊）教科書にもあるように、三角比や三角関数を円といっしょに考えるとき、 $sin\theta =\frac{y}{r}$、$cos\theta =\frac{x}{r}$ です。   $r$ は円の半径です。 単位円 $r=1$ のとき、$sin\theta =\frac{y}{r}$、$cos\theta =\frac{x}{r}$ は $sin\theta =y$、$cos\theta =x$ となります。 それで、例えば、 $sin\theta = cos\theta$ を解きなさい。ただし、$0\leqq \theta < 2\pi$  という問題では、実質的に単位円と $sin\theta = cos\theta$  つまり $y=x$ を 考えることになります。 図から交点の角度は左回りで見て、 $\theta=\frac{\pi}{4}$ と $\theta=\frac{5\pi}{4}$ であることがわかります。