高校数学（指数と対数の計算）

指数と対数の計算はよく練習しておく必要があります。

指数の計算の例をいくつか。

(1)　$(a^2)^4=a^8$　（$2\times 4=8$ という計算です）

(2)　$a^2\times a^4=a^6$　（$2+4=6$ という計算です）

(3)　$(ab^3)^2=a^2b^6$　（2乗が分配されるようなイメージです）

(4)　$\frac{a^5}{a^2}=a^{5-2}=a^3$　（上から下を引くイメージです）

(5)　$a^0=1$

(6)　$a^{-3}=\frac{1}{a^3}$

(7)　$log_23+log_25=log_215$　（$3\times 5=15$ という計算です）

(8)　$log_215-log_23=log_25$　（$15\div 3=5$ という計算です）

(9)　$log_53^2=2log_53$　（$log_53^2$ と $(log_53)^2$ とは別物です）

　　前者の $2$乗は $3$ にだけかかりますが、後者は $log$ の値全体にかかります。

(10)　$log_{10}1=0$　（真数が $1$ だと$log$ の値は $0$ です）

(11)　$log_{10}10=1$　（底と真数が同じだと $log$ の値は $1$ です

例えば、(5)で底を $a$ として両辺の対数をとると

$log_aa^0=log_a1$

左辺は(9)から $0\times log_aa=0$

右辺は(10)から $0$ となります。

このように、"両辺の対数をとる" という手法を覚えると指数と対数の行き来ができて便利です。

計算問題では、「底の変換」が必要となる場合があります。（底を別の数字に変える）

$log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}$

左辺にない $c$ が右辺にありますが、これは都合のよい数なら何でもOKです。もちろん、

$c$ は正で、さらに $1$ であってはなりません。

例えば、$log_6{18}$ であれば、

底を $2$ とすれば、$log_6{18}=\frac{log_2{18}}{log_2{6}}$

底を $3$ とすれば、$log_6{18}=\frac{log_3{18}}{log_3{6}}$

底を $5$ とすれば、$log_6{18}=\frac{log_5{18}}{log_5{6}}$

などなど。