孤独の数学（孤独の忍者のブログ）

もっとも簡単な指数方程式は $3^x=9$ これは  $3^x=3^2$ $3$ をはずして、$x=2$ となります。 2次方程式を解かせるようなパターンがよく出てきます。例えば、 $4^x-3\cdot 2^{x+1}-16=0$　このような場合、$2^x$ が見えてくるようにします。 $(2^2)^x-3\cdot 2^x \cdot 2^1-16=0$ $(2^x)^2-6\cdot 2^x-16=0$　これで $2^x$ が独立した感じになります。 $2^x=t$ とおくと、$t^2-6t-16=0$  したがって、$(t-8)(t+2)=0$ よって、$t=8,\ \ t=-2$ 指数 $2^x>0$ であるから、$t=-2$ は不適。よって、$t=8$ このグラフ $y=2^x$ は $x$ 軸より上にあり、 $2^x>0$ であることがわかる。 したがって、$2^x=8$　ここで、$2^x=2^3$ であるから、$x=3$ 他にも、$3^{2-x}=\sqrt[3]{9}$ であれば、 右辺は $\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{3^2}=3^{\frac{2}{3}}$ であるから、 $3^{2-x}=3^{\frac{2}{3}}$　 $3$ をはずして、 $2-x=\frac{2}{3}$ 　$x=\frac{4}{3}$

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指数と対数の計算はよく練習しておく必要があります。 指数の計算の例をいくつか。 (1)　$(a^2)^4=a^8$　（$2\times 4=8$ という計算です） (2)　$a^2\times a^4=a^6$　（$2+4=6$ という計算です） (3)　$(ab^3)^2=a^2b^6$　（2乗が分配されるようなイメージです） (4)　$\frac{a^5}{a^2}=a^{5-2}=a^3$　（上から下を引くイメージです） (5)　$a^0=1$ (6)　$a^{-3}=\frac{1}{a^3}$ (7)　$log_23+log_25=log_215$　（$3\times 5=15$ という計算です） (8)　$log_215-log_23=log_25$　（$15\div 3=5$ という計算です） (9)　$log_53^2=2log_53$　（$log_53^2$ と $(log_53)^2$ とは別物です） 　　前者の $2$乗は $3$ にだけかかりますが、後者は $log$ の値全体にかかります。 (10)　$log_{10}1=0$　（真数が $1$ だと$log$ の値は $0$ です） (11)　$log_{10}10=1$　（底と真数が同じだと $log$ の値は $1$ です 例えば、(5)で底を $a$ として両辺の対数をとると $log_aa^0=log_a1$ 左辺は(9)から $0\times log_aa=0$ 右辺は(10)から $0$ となります。 このように、"両辺の対数をとる" という手法を覚えると指数と対数の行き来ができて便利です。 計算問題では、「底の変換」が必要となる場合があります。（底を別の数字に変える） $log_ab=\frac{log_cb}{log_ca}$ 左辺にない $c$ が右辺にありますが、これは都合のよい数なら何でもOKです。もちろん、 $c$ は正で、さらに $1$ であってはなりません。 例えば、$log_6{18}$ であれば、 底を $2$ とすれば、$log_6{18}=\frac{log_2{18}}{log_2{6}}$ 底を $3$ とすれば、$log_6{18}=\frac{log_3{18}}{log_3{6}}$ 底を $5$ とすれば、$log_6{1

指数関数は、$y=a^x$ で、$a<1$ と $a>1$ でグラフが $y$軸対象になります。 $a^0=1$ なので、グラフは必ず $y$軸上の点$(0,\ 1)$を通ります。 グラフを頭に思い浮かべられるようにしましょう。いろいろな問題を解くときに役立ちます。 赤は $y=3^x$ で、青は $y=\left(\frac{1}{3}\right)^x $ です。これは $y=3^{-x}$ とも 表せます。指数関数の逆関数となるのが、対数関数です。 対数関数は $y=log_ax$ です。ここで、$a$ を「底」(てい)といいます。$a\ne 0, \ 1$ です。 また、$x$ を「真数」といい、$x>0$ となります。これを真数条件といいます。 グラフは指数関数と $y=x$ に関して対称となります。 赤が $y=log_3x$ です。青は $y=3^x$ です。 これら2つのグラフは緑の $y=x$ に関して対称になっていることがわかります。 さて、大切なこととして、$y=log_3x$ を見たとき、$x=3^y$ がすぐに わかるようにしておきましょう。 例えば、$log_2x=3$ のとき、$3$ を小さくして、$2$ の肩に乗せ、$x$ と $=$ でつなぐというようなイメージです。